学案5 导数与微积分
一．基础自测
1-⎫⎛
1．（2010全国卷2理数）若曲线y =x 在点 a , a 2⎪处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =
⎝⎭
-
1
2
（ ）
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 解析：切线方程为y -a
-12
1-33-1
2
=-a (x -a ) ，在x 轴，y 轴的截距分别为3a , a 2
22
(a >0) ，
13-1
∴⨯3a ⨯a 2=18 ∴a =64． 22
答案：A 2．
⎰
1
(e x +e -x ) dx =
C ．
（ ）
A ．e +
1
B ．2e e
1
2
e
D ．e -
1 e
解析：
⎰
(e x +e -x ) dx =(e x -e -x )
10
1=e -．
e
答案：D
3．(2009年广东卷文) 函数f (x ) =(x -3) e x 的单调递增区间是（ ）
A ． (-∞, 2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ． (2, +∞)
解析：解f '(x ) =(x -2) e >0, 得x >2. 答案：D 4．（2010山东文数）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
x
1
y =-x 3+81x -234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
3
（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件
解析：y ' =-(x -9)(x +9) (x >0) ，在(0,9)上单调递增，在(9,+∞) 上单调递减，故x =9时，利润最大． 答案：C
5．设a ∈R , 若函数y =e +ax , x ∈R 有大于零的极值点，则
(
x
a
-1
x
a >-1
x
a
1e
D.a >
-
1e
解析：y ' =e +a =0有正根，a =-e 0) ． 答案：A
6．（2010辽宁文数）已知点P 在曲线y =
（ ）
4
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是x
e +1
ππππ3π3π
] (D) [, π) ) (B)[, ) （C ） (,
422444
3π4e x 4
α∈[, π) ． 解析：y ' =-x ，故=-∈[-1,0) 2x -x
4(e +1) e +e +2
(A)[0,答案：D
7．已知函数f (x ) =-x +ax -x -1在(-∞, +∞) 上是单调函数, 则实数a 的取值范围是（ ）
A
．(-∞, +∞)
B
．[
3
2
C
．(-∞, +∞)
D
．(
解析：f '(x ) =-3x 2+2ax -1, △≤0, a ∈[ 答案：B
8．（2009安徽卷理）设a ＜b , 函数 y =(x -a ) 2(x -b ) 的图像可能是（ ） ．
解析：y ' =3(x -a )(x -答案：C
9．（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y =ln(x +a ) 相切，则a 的值为( )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
a +2b
) ，易知a 为极大值点，且a , b 为零点． 3
解析：设切点坐标为(x 0, y 0) ，则有y 0=x 0+1, y 0=ln(x 0+a ),
解得y 0=0, x 0=-1, a =2. 答案：B
1
=1， x 0+a
10．函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +a 2, 在x =1时有极值10，则a 、b 的值为
（ ）
a =3, b =-3，或a =-4,
b =11 a
=-4,
b =11
a =3, b =-3
D.以上都不正确
2
解析：f '(x ) =3x 2-2ax -b , 由f '(1)=0, f (1)=11, 得a =3, b =-3，或a =-4, b =11，
经检验a =3, b =-3时，f '(x ) =3(x -1) ≥0, 故x =1不是极值点． 答案：B 二．考点与方法梳理 1．导数的概念
lim (1)f '(x 0) = ∆ x →0lim (2) f '(x ) = ∆ x → 0
f (x 0＋Δx)－f (x 0)
.
Δxf (x ＋Δx)－f (x )
.
Δx
(3) f '(x 0) 与f '(x ) 的关系． 2．导数的几何意义
(1)函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0) 就是曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0) ． (2)曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处的切线方程为y －f (x 0) ＝f '(x 0) (x －x 0) ． 3
．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式
(2)导数的四则运算法则
①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x ) ． ②[u (x ) v (x )]′＝u ′(x ) v (x ) ＋u (x ) v ′(x ) ．
u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )u (x )
③[]′＝v (x ) ≠0) ． v (x )[v (x )](3)复合函数求导
复合函数y ＝f (g (x )) 的导数和y ＝f (u ) ，u ＝g (x ) 的导数之间的关系为y x ′＝f '(u ) g '(x ) ． 4．函数的性质与导数
(1)在区间(a ，b ) 内，如果f '(x ) >0，那么函数f (x ) 在区间(a ，b ) 上单调递增． 在区间(a ，b ) 内，如果f '(x )
（2）求单调区间的步骤
①求函数f (x ) 的定义域；②求f '(x ) ；③解不等式f '(x ) >0, f '(x )
(3)求极值的步骤
①求函数f (x ) 的定义域；②求f '(x ) ＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论． (4)求函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤
①求f '(x ) ；②求f '(x ) ＝0的根(注意取舍) ；③求出各极值及区间端点处的函数值；
三．典例展示
例1 (2009⋅东莞二模) 已知函数f (x )=ax 3-2ax 2+b (a ≠0) ．
(1)求出f (x )的极值点，并指出其是极大值点还是极小值点；
(2)若f (x )在区间[-2,1]上的最大值是5，最小值是-11，求f (x )的解析式．
思维启迪:
对可导函数f (x )而言，极值点必在f '(x )=0处取得，而最值在极值点或区间端点取得，因此，可从求导入手，利用列表的方法进行求解．
解析：(1)f (x )=ax 3-2ax 2+b ，
∴f '(x )=3ax 2-4ax =ax (3x -4)．
4令f '(x )=0，得x 1=0，x 2=.
3
①当a
44
函数的极值点是0，且0是极大值点．
33
4
②当a >0时，同理可验证0是极小值点．
3
(2)f (x )在区间[-2,1]上的最大值是5，最小值是-11.
4
由f '(x )=0，得x 1=0，x 2=∉[-2,1]
．
3
若a >0，则x 、f 'x 、f x 的变化情况如下表：
∴f (0)必为最大值，∴f (0)=5，得b =5.
f (-2)=-16a +5，f (1)=-a +5，∴f (1)>f (-2)，∴f (-2)=-16a +5=-11，∴a =1. ∴f (x )=x 3-2x 2+5.
若a
探究提高:
1．意区分极值点与极值．
2．求可导函数的极值的步骤：(1)求导数f ′(x ) ；(2)f ′(x )=0的根；(3)列表检查f ′(x ) 在方程根左右的符号；
(4)求出极值．
3．求可导函数在[a ，b ]上的最值的步骤：(1)求出f (x ) 在(a ，b ) 内的极值；(2)求f (a ) 、f (b ) 的值；(3)比较f (a ) 、f (b
)
及极值的大小得结论． 变式训练：
f (-2)=-16a -11，f (1)=-a -11，∴f (-2)>f (1)，∴f (-2)=⎡⎣f (x )⎤⎦max =5，
(2010⋅深圳二模) 已知函数f (x )=(x 2-3x +)e x ，其中e 是自然对数的底数．
(1)求函数f (x )的图象在x =0处的切线方程；
(2)求函数f (x )在区间[-1,2]上的最大值与最小值．
99
f (x )=(x 2-3x +)e x ，f (0)=，
4493
∴f '(x )=(2x -3)e x +(x 2-3x +)e x =(x 2-x -)e x ，
44
3
则f '(0)=-. ∴函数f (x )的图象在x =0处的
4
93
切线方程为y -=-x ，即3x +4y -9=0.
44
32x 13x
2由1得f x =(x -) e ，则f 'x =(x +)(x -)e . ()()()()
222
当x 变化时，函数f x ，f 'x 的变化情况如下：解析： (1)
f x =max{f (-) ，f 2}，f x =min{f -1，f ()}．⎡⎤⎡⎤()()()()⎣⎦max ⎣⎦min
22
1-112f (2)-f (-) =e -4e 2=
24325
f () -f (-1)=0-e -1
24
1-132
∴⎡f x =f (-) =4e f x =f () =0. ⎤⎡⎤()()⎣⎦max ⎣⎦min
22
例2 (2010⋅山东文卷) 已知函数f (x )=ln x -ax +
1-a
-1(a ∈R ) ．x
(1)当a =-1时，求曲线y =f (x )在点(2，f (2)) 处的切线方程；
(2)当a ≤
思维启迪:
1
时，讨论f (x )的单调性．2
(1)根据导数的几何意义确定切线的斜率，再由点斜式写出切线方程；
(2)先求f '(x )，再根据f '(x )的符号确定单调区间．
解析:
(1)当a =-1时，f (x )=ln x +x +
∴f '(x )=
2
-1，x ∈(0，+∞) ，x
12+1-2，∴f '(2)=1，x x
即曲线y =f (x )在点(2，f (2)) 处的切线斜率为1. 又f (2)=ln2+2，∴曲线y =f (x )在点(2，f (2)) 处的切线方程为y -(ln2+2)=x -2，即x -y +ln2=0.
1-a
-1，x
1a -1ax 2-x +1-a
∴f '(x )=-a +2=-(x ∈(0，+∞)) ．
x x x 2
令g (x )=ax 2-x +1-a ，x ∈(0，+∞) ．
(2)f (x )=ln x -ax +
ⅰ当() a =0时，g (x )=-x +1，x ∈(0，+∞) ，
∴当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f '(x )
当x ∈(1，+∞) 时，g (x )0，函数f (x )单调递增．
(ⅱ当) a ≠0时，由f '(x )=0，即ax 2-x +1-a =0，解得x 1=1，x 2=
1
-1. a
1
①当a =时，x 1=x 2，g (x )≥0恒成立,
2
此时f '(x )≤0，函数f (x )在(0，+∞) 上单调递减；
11
②当01>0，则当x ∈(0,1)时，g (x )>0，
2a
此时f '(x )
1
当x ∈(1-1) 时，g (x )0，函数f (x )单调递增；
a 1
当x ∈(-1，+∞) 时，g (x )>0，此时f '(x )
a
1
③当a
a
则当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f '(x )
当x ∈(1，+∞) 时，g (x )0，函数f (x )单调递增．综上所述，
当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，+∞) 上单调递增；1
当a =时，函数f (x )在(0，+∞) 上单调递减；
21
当0
2
在(-1，+∞) 上单调递减．
探究提高: 1．求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后根据f ′(x ) 的符号确定单调区间．由f ′(x )>0
得单调增区间，由f ′(x )
2．已知切点(x ，y ) 求切线方程时，要注意如下几点：(1)切线的斜率k =f ′(x ) ；(2)切点(x ，y ) 在曲线上；
(3)切点(x ，y ) 在切线上．
变式训练：
已知函数f (x )=x 3-x .
(1)求曲线y =f (x )在点M (t ，f (t )) 处的切线方程；
(2)设a >0，如果过点(a ，b ) 可作曲线y =f (x )的三条切线，证明：-a
解析： (1)f (x )的导数f '(x )=3x 2-1.
曲线y =f (x )在点M (t ，f (t )) 处的切线方程为y -f (t )=f '(t )(x -t )，
即y =(3t 2-1)x -2t 3.
(2)证明：如果有一条切线过点(a ，b ) ，
则存在t ，使b =(3t 2-1)a -2t 3.
若过点(a ，b ) 可作曲线y =f (x )的三条切线，则方程2t 3-3at 2+a +b =0有三个相异的实数根．记g (t )=2t 3-3at 2+a +b ，则g '(t )=6t 2-6at =6t (t -a )．
当t 变化时，g t ，g 't 的变化情况如下表：
由g 方程g (t )=0最多有一个实数根；
当a +b =0时，解方程g (t )=0，得t =0或t =即方程g (t )=0只有两个相异的实数根；
a
当b -f (a )=0时，解方程g (t )=0，得t =-或t =a ，
2
即方程g (t )=0只有两个相异的实数根．
综上，如果过点(a ，b ) 可作曲线y =f (x )的三条切线，即g (t )=0有三个相异的实数根，⎧a +b >0 则⎨，即-a
b -f (a )
3a
，2
a 2
例3 (2009⋅广州二模) 已知函数f (x )=x +，g (x )=x +ln x ，其中a >0.
x
(1)若x =1是函数h (x )=f (x )+g (x )的极值点，求实数a 的值； 求实数a 的取值范围．
思维启迪:
(2)若对任意的x 1，x 2∈[1，e](e为自然对数的底数) 都有f (x 1)≥g (x 2)成立，
(1)x =1是h (x )的极值点，则h '(1)=0；
a 2
解析： (1)h (x )=2x ++ln x ，其定义域为(0，+∞) ，
x
a 21
∴h '(x )=2-+.
x x
x =1是函数h (x )的极值点，∴h '(
1)=0，即3-a 2=0. 因为a >0，所以a =经检验，当a =x =1是函数h (
x )的极值点，∴a =(2)采用转化的思想方法，转化为求⎡⎣f (x )⎤⎦min ≥⎡⎣g (x )⎤⎦max 时a 的取值范围．
(2)对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立等价于对于任意x 1，x 2∈[1，e]，都有⎡⎣f (x )⎤⎦min ≥⎡⎣g (x )⎤⎦max .
当x ∈[1，e]时，g '(x )=1+
1 >0，∴函数g (x )=x +ln x 在[1，e]上是增函数．∴⎡g (x )⎤=g e =e +1. ()⎣⎦max
x
a 2(x -a )(x +a )
f '(x )=1-2=，且x ∈[1，e]，a >0. 2
x x
①当0
(x -a )(x +a ) a 2
f '(x )=>0，∴函数f (x )=x +在[1，e]上是增函数．
x 2x
2
∴⎡⎣f (x )⎤⎦min =f (
1)=1+a . 由1+a 2≥e +1，得a ≥又0
②当1≤a ≤e 时，
(x -a )(x +a ) (x -a )(x +a )
若1≤x 0. ()
x 2x 2
a 2
∴函数f (x )=x +在[1，a ) 上是减函数，在(a ，e]上是增函数．∴⎡f (x )⎤=f (a )=2a . ⎣⎦min
x
e +1e +1
由2a ≥e +1，得a ≥. 又1≤a ≤e ，∴≤a ≤e
22
③当a >e 且x ∈[1，e]时，f '(x )=
(x -a )(x +a )
x 2
a 2
∴函数f (x )=x +在[1，e]上是减函数．
x
a 2a 2
∴⎡⎣f (x )⎤⎦min =f (
e )=e +e . 由e +e ≥e +1，得a ≥ 又a >e ，∴a >e.
e +1
综上所述，a 的取值范围为[，+∞).
2
探究提高:
1．利用导数研究函数的性质要注意如下几个方面： ①注意函数的定义域．
②掌握常见函数的导数公式和运算法则．
③可导函数f (x ) 在x 处有极值的必要条件为f ′(x )=0.即在x 处有极值，则必有f ′(x )=0，但f ′(x )=0，则x 不
一定是极值点．
④恒成立问题常转化为最值问题：
f (x )≥m 在[a ，b ]上恒成立⇔[f (x )]≥m ，f (x )≤M 在[a ，b ]上恒成立⇔[f (x )]∀x ，x ∈[a ，b ]都有f (x )≥g (x ) ⇔∀x ，x ∈[a ，b ]都有[f (x )]
1
2
1
2
1
2
min
min
max
≤M .
≥[g (x )]
max.
2．注意分类讨论思想的运用．
a 2
对于给定范围内的最值问题，要根据极值点的位置进行分类讨论．对于函数y =x +，要根据x =a 是
x
b
否在给定区间进行讨论，这和二次函数在闭区间上的最值，根据x =- 是否属于所给闭区间上的讨论是
2a
一致的．
变式训练：
（2010山东理数）已知函数f (x ) =ln x -ax +
(Ⅰ) 当a ≤
1-a
-1(a ∈R ) . x
1
时，讨论f (x ) 的单调性； 2
1
时，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1) ≥g (x 2) ，求4
（Ⅱ）设g (x ) =x 2-2bx +4. 当a =实数b 取值范围.
（Ⅱ）当a =
1
时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x 1∈(0,2)， 4
11
，又已知存在x 2∈[1,2]，使f (x 1) ≥g (x 2) ，所以-≥g (x 2) ，x 2∈[1,2]， 22
有f(x1) ≥f(1)=-
9
19111722
即存在x ∈[1,2]，使g (x ) =x -2bx +4≤-，即2bx ≥x +，即2b ≥x +∈[, ]，
2224x
所以2b ≥
111111
，解得b ≥，即实数b 取值范围是[, +∞) ． 244
例4．设f (x ) =
ln(1+x )
(x >0) ．
x
（I ）判断函数f (x ) 的单调性；
（II ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式ln(1+x )
（III ）求证：(1+)
（2）转化求函数的最值．
1n
n *
x
-ln(1+x )
ln(1+x ) (x >0) ，∴f '(x ) =解析：（I ）∵f (x ) =(x >0), 2
x x
x 1+x -x 1x -ln(1+x ) (x >0) ，则g '(x ) =设g (x ) =-=-
1+x (1+x ) 1+x (1+x )
x
-ln(1+x )
1+x
x
-ln(1+x )
ln(1+x ) f (x ) =(x >0) 在(0,+∞) 上是减函数． ∴f '(x ) =∴
x x 2
（II ）不等式ln(1+x )
1
-a ． 设h (x ) =ln(1+x ) -ax ，则h '(x ) =
1+x
1=-a
h (x ) =ln(1+x ) -ax 1=-a >0②当a ≤0时，h ' (x ) 恒成立．∴h (x ) =ln(1+x ) -ax 在(0,+∞) 上是增函数，有1+x
h (x ) =ln(1+x ) -ax >h (0)=0在(0,+∞) 上恒成立，不等式ln(1+x )
11-a =0，得x =1-． ③当0
1+x a
111
-a >0，∴h (x ) =ln(1+x ) -ax 在(0,-1) 上是增函数， ∴在(0,-1) 上h '(x )=
a 1+x a 1
∴当x ∈(0,-1) 时，h (x ) =ln(1+x ) -ax >h (0)=0，不等式ln(1+x )
a
综合上述，a 的取值范围为[1,+∞) ．
1
（III ）由（II ）可知不等式ln(1+x )
x
∴ln(1+x )
（1）利用导数判断单调性，但由于f '(x ) 的正负不易判定，故通过构造新函数g (x ) =
1x
1x
11n *
，得(1+)
x
-ln(1+x ) 1+x
判定；
（2）不等式的恒成立问题最常用的解法是变量分离，转化为求函数的最值，但本题不能用此方法．只能构
造函数h (x ) =ln(1+x ) -ax 求最值解决； （3）换元法证不等式． 变式训练：
2
（2007山东理）设函数f (x )=x +b ln(x +1),其中b ≠0.
1
时，判断函数f (x ) 在定义域上的单调性； 2
（Ⅱ）求函数f (x ) 的极值点；
111
（Ⅲ）证明对任意的正整数n , 不等式ln(+1) >2-3都成立.
n n n
(Ⅰ) 当b >
2
解析：(I) 函数f (x ) =x +b ln(x +1) 的定义域为(-1, +∞).
b 2x 2+2x +b
f '(x ) =2x +=，
x +1x +1
1⎫⎛1⎫⎛
令g (x ) =2x 2+2x +b ，则g (x ) 在 -, +∞⎪上递增，在 -1, -⎪上递减，
2⎭⎝2⎭⎝
11
g (x ) min =g (-) =-+b .
22
11
当b >时，g (x ) min =-+b >0，
22
g (x ) =2x 2+2x +b >0在(-1, +∞)上恒成立.
∴f ' (x ) >0,
1
即当b >时, 函数f (x ) 在定义域(-1, +∞)上单调递增．
2
（II ）分以下几种情形讨论：
1
时函数f (x ) 无极值点. 2
12
2(x +) 1（2）当b =时，f '(x ) =，
2x +11⎫⎛
∴x ∈ -1, -⎪时，f ' (x ) >0,
2⎭⎝
⎛1⎫
x ∈ -, +∞⎪时，f ' (x ) >0,
⎝2⎭1
∴b =时，函数f (x ) 在(-1, +∞)上无极值点．
2
1-1-1'
（3）当b
0得两个不同解x 1=
，x 2=.
222
当b
0时，x 1=
1，x 2=>-1，
∴x 1∉(-1, +∞), x 2∈(-1, +∞),
（1）由（I ）知当b >
此时f (x ) 在(-1, +∞
)上有唯一的极小值点x 2=当0
.
1
时，x 1, x 2∈(-1, +∞), 2
f ' (x ) 在(-1, x 1), (x 2, +∞)都大于0 ，f ' (x ) 在(x 1, x 2) 上小于0 ，
和一个极小值点x 2=.
综上可知，b
)上有唯一的极小值点x 2=
10
) 有一个极大值点x 1=
x 2=；
21
b ≥时，函数f (x ) 在(-1, +∞)上无极值点．
2
2
（III ） 当b =-1时，f (x ) =x -ln(x +1).
此时f (x
) 有一个极大值点x 1=
令h (x ) =x -f (x ) =x -x +ln(x +1), 则
3
3
2
3x 3+(x -1) 2
h (x ) =在[0, +∞)上恒正，
x +1
∴h (x ) 在[0, +∞)上单调递增，当x ∈(0, +∞)时，恒有h (x ) >h (0)=0.
'
即当x ∈(0, +∞)时，有x 3-x 2+ln(x +1) >0, ln(x +1) >x 2-x 3， 对任意正整数n ，取x =
1111得ln(+1) >2-3 n n n n
四．提炼升华
1．利用导数能解决三大基本问题(1)求切线问题;(2)利用导数求单调区间;(3)利用导数求函数的极值、最值． 2．求切线问题:切点决定切线, 故求切线往往先要求出切点坐标.
3. 利用导数求单调区间, 有三种常见题型(1)一个已知函数求单调区间;(2)含参数的函数求单调区间, 转化为解含参数的一元一次不等式或一元二次不等式, 需根据参数分类讨论解决;(3)在某区间上单调, 转化为导函数f '(x ) ≥0或f '(x ) ≤0恒成立. 4. 利用导数求函数的极值、最值:要注意极值点的存在性的讨论. 若f '(x ) =0无解或有解但不在定义域内或导数等于零的点两侧导数同号, 则函数均极值点. 无极值点则函数单调.
五、巩固提高
一、选择题
1. 函数f (x ) =x -3x +1是减函数的区间是（ ） A . (2, +∞)
3
2
B . (-∞, 2) C . (-∞, 0) D . (0, 2)
解析：f '(x ) =3(x 2-2x )
2．已知f (x ) =2x 3-6x 2+a (a 是常数) 在[-2, 2]上有最大值3，那么在[-2, 2]上f (x ) 的最小值是（ ） A . -5
B . -11
2
C . -37D . -29
解析：由f '(x ) =6(x -2x ) 知f (x ) max =f (0)=3, f (x ) min =f (-2) =-37． 答案：C
3．若函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a >0) 为增函数，则（ ）
A . b 2-4ac >0
答案：D
B . b >0, c >0C . b =0, c >0Db . 2-3ac ≤0
2
解析：f '(x ) =3ax 2+2bx +c ≥0(a >0) 恒成立，只需△=b -3ac ≤0．
1
4. 若f (x ) ＝－x 2＋b ln (x ＋2) 在(－1，＋∞) 上是减函数，则b 的取值范围是 ( )
2
A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1) 解析：f '(x ) =-x +
b
≤0在(－1，＋∞) 上恒成立，等价于b ≤x (x +2) =(x +1) 2-1在(－1，＋∞) x +2
上恒成立，故b ≤-1．
答案：C
2
5. 已知x ≥0,y ≥0，x +3y =9,则x y 的最大值为 （
） A.36
B.18 C.25 解析：x y =(9-3y ) y 答案： A
二、填空题
2
2
(0≤y ≤3) ，利用导数可求得x =6, y =1取最大值为36．
6.
⎰
2
(3x 2+k ) dx =10, 则k = ;
解析：(x 3+kx ) 答案：1
2
dx =10, 则k =1． 0
7. 若过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________,切线的斜率为 _______．
解析：设切点坐标为(a ,e a ) ，则切线方程为y -e a =e a (x -a ) ，又过原点，故-e a =e a (-a ) ，得a =1，故切点坐标为(1,e)，斜率为e ． 答案：(1,e)，e
x 2+a
8. （2009辽宁卷文）若函数f (x ) =在x =1处取极值，则a = ．
x +13-a 2x (x +1) -(x 2+a )
f '(1)解析：f '(x ) ＝ ，＝＝0 ⇒ a＝3．
4(x +1) 2
答案：3
9. （2009福建卷理）若曲线f (x ) =ax 3+ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________． 解析：由题意可知f (x ) =2ax +
1
，又因为存在垂直于y 轴的切线， x
112
所以2ax +=0⇒a =-3(x >0) ⇒a ∈(-∞,0) ．
x 2x
'
2
答案：(-∞,0)
三、解答题
32
10. 设函数f (x )=x +bx +cx (x ∈R ) ，已知g (x ) =f (x ) -f '(x ) 是奇函数．
（Ⅰ）求b 、c 的值; Ⅱ）求g (x ) 的单调区间与极值.
解析: （Ⅰ）∵f (x )=x +bx +cx ，∴f '(x )=3x +2bx +c ．
3
2
2
从而g (x ) =f (x ) -f '(x ) =x +bx +cx -(3x +2bx +c ) ＝x +(b -3) x +(c -2b ) x -c 是一个奇函数，所以g (0)=0得c =0，由奇函数定义得b =3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x ) =x 3-6x ，从而g '(x ) =3x 2-
6，由此可知，(-∞,
和+∞) 是函数g (x
) 是单调递增区间；(是函数g (x ) 是单调递减区间；
32232
g (x
) 在x =
g (x
) 在x =
-．
11. .设函数f (x ) =(1+x ) -ln(1+x ) （1）求函数f (x ) 的单调区间；
（2）若当x ∈[-1, e -1]时，不等式f (x )
22
1
e
（3）若关于x 的方程f (x ) =x +x +a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．
2
解析：因为f (x ) =(1+x ) -ln(1+x ) 所以f '(x ) =2(1+x ) -
22
2 1+x
21x 2+2x =2[(1+x ) -]>0⇒>0 （1）令f '(x ) =2(1+x ) -
1+x 1+x 1+x
⇒-20，所以f (x ) 的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；
21x 2+2x
=2[(1+x ) -]
1+x 1+x 1+x
⇒-1
11
f (-1) =2+2, f (0) =1, f (e -1) =e 2-2,
e e
1
所以, 当x ∈[-1, e -1]时, f (x ) 的最大值为e 2-2.
e
因此可得：f (x )e－2
2
2
（3）原题可转化为：方程a =(1+x ) －ln(1+x ) 在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根．
2
, 令g '(x )=0, 解得:x=1, 1+x
当x ∈(0, 1) 时, g '(x )
当x ∈(1, 2) 时, g '(x ) >0, ∴g (x ) 在(1, 2) 单调递增.
(12分)
g (x ) 在x =0和x =2点处连续,
又 g (0) =1, g (1) =2-ln 4, g (2) =3-ln 9,
且2－ln4
所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a 的取值范围是： 2－ln4
12. 已知函数f (x ) =x -1-a ln x (a ∈R ) .
（1）若曲线y =f (x ) 在x =1处的切线的方程为3x -y -3=0，求实数a 的值； （2）求证：f (x ) ≥0恒成立的充要条件是a =1；
（3）若a
11
-|，求实数a 的取值范围. x 1x 2
学案5 导数与微积分
一．基础自测
1-⎫⎛
1．（2010全国卷2理数）若曲线y =x 在点 a , a 2⎪处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =
⎝⎭
-
1
2
（ ）
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 解析：切线方程为y -a
-12
1-33-1
2
=-a (x -a ) ，在x 轴，y 轴的截距分别为3a , a 2
22
(a >0) ，
13-1
∴⨯3a ⨯a 2=18 ∴a =64． 22
答案：A 2．
⎰
1
(e x +e -x ) dx =
C ．
（ ）
A ．e +
1
B ．2e e
1
2
e
D ．e -
1 e
解析：
⎰
(e x +e -x ) dx =(e x -e -x )
10
1=e -．
e
答案：D
3．(2009年广东卷文) 函数f (x ) =(x -3) e x 的单调递增区间是（ ）
A ． (-∞, 2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ． (2, +∞)
解析：解f '(x ) =(x -2) e >0, 得x >2. 答案：D 4．（2010山东文数）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
x
1
y =-x 3+81x -234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
3
（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件
解析：y ' =-(x -9)(x +9) (x >0) ，在(0,9)上单调递增，在(9,+∞) 上单调递减，故x =9时，利润最大． 答案：C
5．设a ∈R , 若函数y =e +ax , x ∈R 有大于零的极值点，则
(
x
a
-1
x
a >-1
x
a
1e
D.a >
-
1e
解析：y ' =e +a =0有正根，a =-e 0) ． 答案：A
6．（2010辽宁文数）已知点P 在曲线y =
（ ）
4
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是x
e +1
ππππ3π3π
] (D) [, π) ) (B)[, ) （C ） (,
422444
3π4e x 4
α∈[, π) ． 解析：y ' =-x ，故=-∈[-1,0) 2x -x
4(e +1) e +e +2
(A)[0,答案：D
7．已知函数f (x ) =-x +ax -x -1在(-∞, +∞) 上是单调函数, 则实数a 的取值范围是（ ）
A
．(-∞, +∞)
B
．[
3
2
C
．(-∞, +∞)
D
．(
解析：f '(x ) =-3x 2+2ax -1, △≤0, a ∈[ 答案：B
8．（2009安徽卷理）设a ＜b , 函数 y =(x -a ) 2(x -b ) 的图像可能是（ ） ．
解析：y ' =3(x -a )(x -答案：C
9．（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y =ln(x +a ) 相切，则a 的值为( )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
a +2b
) ，易知a 为极大值点，且a , b 为零点． 3
解析：设切点坐标为(x 0, y 0) ，则有y 0=x 0+1, y 0=ln(x 0+a ),
解得y 0=0, x 0=-1, a =2. 答案：B
1
=1， x 0+a
10．函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +a 2, 在x =1时有极值10，则a 、b 的值为
（ ）
a =3, b =-3，或a =-4,
b =11 a
=-4,
b =11
a =3, b =-3
D.以上都不正确
2
解析：f '(x ) =3x 2-2ax -b , 由f '(1)=0, f (1)=11, 得a =3, b =-3，或a =-4, b =11，
经检验a =3, b =-3时，f '(x ) =3(x -1) ≥0, 故x =1不是极值点． 答案：B 二．考点与方法梳理 1．导数的概念
lim (1)f '(x 0) = ∆ x →0lim (2) f '(x ) = ∆ x → 0
f (x 0＋Δx)－f (x 0)
.
Δxf (x ＋Δx)－f (x )
.
Δx
(3) f '(x 0) 与f '(x ) 的关系． 2．导数的几何意义
(1)函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0) 就是曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0) ． (2)曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处的切线方程为y －f (x 0) ＝f '(x 0) (x －x 0) ． 3
．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式
(2)导数的四则运算法则
①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x ) ． ②[u (x ) v (x )]′＝u ′(x ) v (x ) ＋u (x ) v ′(x ) ．
u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )u (x )
③[]′＝v (x ) ≠0) ． v (x )[v (x )](3)复合函数求导
复合函数y ＝f (g (x )) 的导数和y ＝f (u ) ，u ＝g (x ) 的导数之间的关系为y x ′＝f '(u ) g '(x ) ． 4．函数的性质与导数
(1)在区间(a ，b ) 内，如果f '(x ) >0，那么函数f (x ) 在区间(a ，b ) 上单调递增． 在区间(a ，b ) 内，如果f '(x )
（2）求单调区间的步骤
①求函数f (x ) 的定义域；②求f '(x ) ；③解不等式f '(x ) >0, f '(x )
(3)求极值的步骤
①求函数f (x ) 的定义域；②求f '(x ) ＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论． (4)求函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤
①求f '(x ) ；②求f '(x ) ＝0的根(注意取舍) ；③求出各极值及区间端点处的函数值；
三．典例展示
例1 (2009⋅东莞二模) 已知函数f (x )=ax 3-2ax 2+b (a ≠0) ．
(1)求出f (x )的极值点，并指出其是极大值点还是极小值点；
(2)若f (x )在区间[-2,1]上的最大值是5，最小值是-11，求f (x )的解析式．
思维启迪:
对可导函数f (x )而言，极值点必在f '(x )=0处取得，而最值在极值点或区间端点取得，因此，可从求导入手，利用列表的方法进行求解．
解析：(1)f (x )=ax 3-2ax 2+b ，
∴f '(x )=3ax 2-4ax =ax (3x -4)．
4令f '(x )=0，得x 1=0，x 2=.
3
①当a
44
函数的极值点是0，且0是极大值点．
33
4
②当a >0时，同理可验证0是极小值点．
3
(2)f (x )在区间[-2,1]上的最大值是5，最小值是-11.
4
由f '(x )=0，得x 1=0，x 2=∉[-2,1]
．
3
若a >0，则x 、f 'x 、f x 的变化情况如下表：
∴f (0)必为最大值，∴f (0)=5，得b =5.
f (-2)=-16a +5，f (1)=-a +5，∴f (1)>f (-2)，∴f (-2)=-16a +5=-11，∴a =1. ∴f (x )=x 3-2x 2+5.
若a
探究提高:
1．意区分极值点与极值．
2．求可导函数的极值的步骤：(1)求导数f ′(x ) ；(2)f ′(x )=0的根；(3)列表检查f ′(x ) 在方程根左右的符号；
(4)求出极值．
3．求可导函数在[a ，b ]上的最值的步骤：(1)求出f (x ) 在(a ，b ) 内的极值；(2)求f (a ) 、f (b ) 的值；(3)比较f (a ) 、f (b
)
及极值的大小得结论． 变式训练：
f (-2)=-16a -11，f (1)=-a -11，∴f (-2)>f (1)，∴f (-2)=⎡⎣f (x )⎤⎦max =5，
(2010⋅深圳二模) 已知函数f (x )=(x 2-3x +)e x ，其中e 是自然对数的底数．
(1)求函数f (x )的图象在x =0处的切线方程；
(2)求函数f (x )在区间[-1,2]上的最大值与最小值．
99
f (x )=(x 2-3x +)e x ，f (0)=，
4493
∴f '(x )=(2x -3)e x +(x 2-3x +)e x =(x 2-x -)e x ，
44
3
则f '(0)=-. ∴函数f (x )的图象在x =0处的
4
93
切线方程为y -=-x ，即3x +4y -9=0.
44
32x 13x
2由1得f x =(x -) e ，则f 'x =(x +)(x -)e . ()()()()
222
当x 变化时，函数f x ，f 'x 的变化情况如下：解析： (1)
f x =max{f (-) ，f 2}，f x =min{f -1，f ()}．⎡⎤⎡⎤()()()()⎣⎦max ⎣⎦min
22
1-112f (2)-f (-) =e -4e 2=
24325
f () -f (-1)=0-e -1
24
1-132
∴⎡f x =f (-) =4e f x =f () =0. ⎤⎡⎤()()⎣⎦max ⎣⎦min
22
例2 (2010⋅山东文卷) 已知函数f (x )=ln x -ax +
1-a
-1(a ∈R ) ．x
(1)当a =-1时，求曲线y =f (x )在点(2，f (2)) 处的切线方程；
(2)当a ≤
思维启迪:
1
时，讨论f (x )的单调性．2
(1)根据导数的几何意义确定切线的斜率，再由点斜式写出切线方程；
(2)先求f '(x )，再根据f '(x )的符号确定单调区间．
解析:
(1)当a =-1时，f (x )=ln x +x +
∴f '(x )=
2
-1，x ∈(0，+∞) ，x
12+1-2，∴f '(2)=1，x x
即曲线y =f (x )在点(2，f (2)) 处的切线斜率为1. 又f (2)=ln2+2，∴曲线y =f (x )在点(2，f (2)) 处的切线方程为y -(ln2+2)=x -2，即x -y +ln2=0.
1-a
-1，x
1a -1ax 2-x +1-a
∴f '(x )=-a +2=-(x ∈(0，+∞)) ．
x x x 2
令g (x )=ax 2-x +1-a ，x ∈(0，+∞) ．
(2)f (x )=ln x -ax +
ⅰ当() a =0时，g (x )=-x +1，x ∈(0，+∞) ，
∴当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f '(x )
当x ∈(1，+∞) 时，g (x )0，函数f (x )单调递增．
(ⅱ当) a ≠0时，由f '(x )=0，即ax 2-x +1-a =0，解得x 1=1，x 2=
1
-1. a
1
①当a =时，x 1=x 2，g (x )≥0恒成立,
2
此时f '(x )≤0，函数f (x )在(0，+∞) 上单调递减；
11
②当01>0，则当x ∈(0,1)时，g (x )>0，
2a
此时f '(x )
1
当x ∈(1-1) 时，g (x )0，函数f (x )单调递增；
a 1
当x ∈(-1，+∞) 时，g (x )>0，此时f '(x )
a
1
③当a
a
则当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f '(x )
当x ∈(1，+∞) 时，g (x )0，函数f (x )单调递增．综上所述，
当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，+∞) 上单调递增；1
当a =时，函数f (x )在(0，+∞) 上单调递减；
21
当0
2
在(-1，+∞) 上单调递减．
探究提高: 1．求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后根据f ′(x ) 的符号确定单调区间．由f ′(x )>0
得单调增区间，由f ′(x )
2．已知切点(x ，y ) 求切线方程时，要注意如下几点：(1)切线的斜率k =f ′(x ) ；(2)切点(x ，y ) 在曲线上；
(3)切点(x ，y ) 在切线上．
变式训练：
已知函数f (x )=x 3-x .
(1)求曲线y =f (x )在点M (t ，f (t )) 处的切线方程；
(2)设a >0，如果过点(a ，b ) 可作曲线y =f (x )的三条切线，证明：-a
解析： (1)f (x )的导数f '(x )=3x 2-1.
曲线y =f (x )在点M (t ，f (t )) 处的切线方程为y -f (t )=f '(t )(x -t )，
即y =(3t 2-1)x -2t 3.
(2)证明：如果有一条切线过点(a ，b ) ，
则存在t ，使b =(3t 2-1)a -2t 3.
若过点(a ，b ) 可作曲线y =f (x )的三条切线，则方程2t 3-3at 2+a +b =0有三个相异的实数根．记g (t )=2t 3-3at 2+a +b ，则g '(t )=6t 2-6at =6t (t -a )．
当t 变化时，g t ，g 't 的变化情况如下表：
由g 方程g (t )=0最多有一个实数根；
当a +b =0时，解方程g (t )=0，得t =0或t =即方程g (t )=0只有两个相异的实数根；
a
当b -f (a )=0时，解方程g (t )=0，得t =-或t =a ，
2
即方程g (t )=0只有两个相异的实数根．
综上，如果过点(a ，b ) 可作曲线y =f (x )的三条切线，即g (t )=0有三个相异的实数根，⎧a +b >0 则⎨，即-a
b -f (a )
3a
，2
a 2
例3 (2009⋅广州二模) 已知函数f (x )=x +，g (x )=x +ln x ，其中a >0.
x
(1)若x =1是函数h (x )=f (x )+g (x )的极值点，求实数a 的值； 求实数a 的取值范围．
思维启迪:
(2)若对任意的x 1，x 2∈[1，e](e为自然对数的底数) 都有f (x 1)≥g (x 2)成立，
(1)x =1是h (x )的极值点，则h '(1)=0；
a 2
解析： (1)h (x )=2x ++ln x ，其定义域为(0，+∞) ，
x
a 21
∴h '(x )=2-+.
x x
x =1是函数h (x )的极值点，∴h '(
1)=0，即3-a 2=0. 因为a >0，所以a =经检验，当a =x =1是函数h (
x )的极值点，∴a =(2)采用转化的思想方法，转化为求⎡⎣f (x )⎤⎦min ≥⎡⎣g (x )⎤⎦max 时a 的取值范围．
(2)对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立等价于对于任意x 1，x 2∈[1，e]，都有⎡⎣f (x )⎤⎦min ≥⎡⎣g (x )⎤⎦max .
当x ∈[1，e]时，g '(x )=1+
1 >0，∴函数g (x )=x +ln x 在[1，e]上是增函数．∴⎡g (x )⎤=g e =e +1. ()⎣⎦max
x
a 2(x -a )(x +a )
f '(x )=1-2=，且x ∈[1，e]，a >0. 2
x x
①当0
(x -a )(x +a ) a 2
f '(x )=>0，∴函数f (x )=x +在[1，e]上是增函数．
x 2x
2
∴⎡⎣f (x )⎤⎦min =f (
1)=1+a . 由1+a 2≥e +1，得a ≥又0
②当1≤a ≤e 时，
(x -a )(x +a ) (x -a )(x +a )
若1≤x 0. ()
x 2x 2
a 2
∴函数f (x )=x +在[1，a ) 上是减函数，在(a ，e]上是增函数．∴⎡f (x )⎤=f (a )=2a . ⎣⎦min
x
e +1e +1
由2a ≥e +1，得a ≥. 又1≤a ≤e ，∴≤a ≤e
22
③当a >e 且x ∈[1，e]时，f '(x )=
(x -a )(x +a )
x 2
a 2
∴函数f (x )=x +在[1，e]上是减函数．
x
a 2a 2
∴⎡⎣f (x )⎤⎦min =f (
e )=e +e . 由e +e ≥e +1，得a ≥ 又a >e ，∴a >e.
e +1
综上所述，a 的取值范围为[，+∞).
2
探究提高:
1．利用导数研究函数的性质要注意如下几个方面： ①注意函数的定义域．
②掌握常见函数的导数公式和运算法则．
③可导函数f (x ) 在x 处有极值的必要条件为f ′(x )=0.即在x 处有极值，则必有f ′(x )=0，但f ′(x )=0，则x 不
一定是极值点．
④恒成立问题常转化为最值问题：
f (x )≥m 在[a ，b ]上恒成立⇔[f (x )]≥m ，f (x )≤M 在[a ，b ]上恒成立⇔[f (x )]∀x ，x ∈[a ，b ]都有f (x )≥g (x ) ⇔∀x ，x ∈[a ，b ]都有[f (x )]
1
2
1
2
1
2
min
min
max
≤M .
≥[g (x )]
max.
2．注意分类讨论思想的运用．
a 2
对于给定范围内的最值问题，要根据极值点的位置进行分类讨论．对于函数y =x +，要根据x =a 是
x
b
否在给定区间进行讨论，这和二次函数在闭区间上的最值，根据x =- 是否属于所给闭区间上的讨论是
2a
一致的．
变式训练：
（2010山东理数）已知函数f (x ) =ln x -ax +
(Ⅰ) 当a ≤
1-a
-1(a ∈R ) . x
1
时，讨论f (x ) 的单调性； 2
1
时，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1) ≥g (x 2) ，求4
（Ⅱ）设g (x ) =x 2-2bx +4. 当a =实数b 取值范围.
（Ⅱ）当a =
1
时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x 1∈(0,2)， 4
11
，又已知存在x 2∈[1,2]，使f (x 1) ≥g (x 2) ，所以-≥g (x 2) ，x 2∈[1,2]， 22
有f(x1) ≥f(1)=-
9
19111722
即存在x ∈[1,2]，使g (x ) =x -2bx +4≤-，即2bx ≥x +，即2b ≥x +∈[, ]，
2224x
所以2b ≥
111111
，解得b ≥，即实数b 取值范围是[, +∞) ． 244
例4．设f (x ) =
ln(1+x )
(x >0) ．
x
（I ）判断函数f (x ) 的单调性；
（II ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式ln(1+x )
（III ）求证：(1+)
（2）转化求函数的最值．
1n
n *
x
-ln(1+x )
ln(1+x ) (x >0) ，∴f '(x ) =解析：（I ）∵f (x ) =(x >0), 2
x x
x 1+x -x 1x -ln(1+x ) (x >0) ，则g '(x ) =设g (x ) =-=-
1+x (1+x ) 1+x (1+x )
x
-ln(1+x )
1+x
x
-ln(1+x )
ln(1+x ) f (x ) =(x >0) 在(0,+∞) 上是减函数． ∴f '(x ) =∴
x x 2
（II ）不等式ln(1+x )
1
-a ． 设h (x ) =ln(1+x ) -ax ，则h '(x ) =
1+x
1=-a
h (x ) =ln(1+x ) -ax 1=-a >0②当a ≤0时，h ' (x ) 恒成立．∴h (x ) =ln(1+x ) -ax 在(0,+∞) 上是增函数，有1+x
h (x ) =ln(1+x ) -ax >h (0)=0在(0,+∞) 上恒成立，不等式ln(1+x )
11-a =0，得x =1-． ③当0
1+x a
111
-a >0，∴h (x ) =ln(1+x ) -ax 在(0,-1) 上是增函数， ∴在(0,-1) 上h '(x )=
a 1+x a 1
∴当x ∈(0,-1) 时，h (x ) =ln(1+x ) -ax >h (0)=0，不等式ln(1+x )
a
综合上述，a 的取值范围为[1,+∞) ．
1
（III ）由（II ）可知不等式ln(1+x )
x
∴ln(1+x )
（1）利用导数判断单调性，但由于f '(x ) 的正负不易判定，故通过构造新函数g (x ) =
1x
1x
11n *
，得(1+)
x
-ln(1+x ) 1+x
判定；
（2）不等式的恒成立问题最常用的解法是变量分离，转化为求函数的最值，但本题不能用此方法．只能构
造函数h (x ) =ln(1+x ) -ax 求最值解决； （3）换元法证不等式． 变式训练：
2
（2007山东理）设函数f (x )=x +b ln(x +1),其中b ≠0.
1
时，判断函数f (x ) 在定义域上的单调性； 2
（Ⅱ）求函数f (x ) 的极值点；
111
（Ⅲ）证明对任意的正整数n , 不等式ln(+1) >2-3都成立.
n n n
(Ⅰ) 当b >
2
解析：(I) 函数f (x ) =x +b ln(x +1) 的定义域为(-1, +∞).
b 2x 2+2x +b
f '(x ) =2x +=，
x +1x +1
1⎫⎛1⎫⎛
令g (x ) =2x 2+2x +b ，则g (x ) 在 -, +∞⎪上递增，在 -1, -⎪上递减，
2⎭⎝2⎭⎝
11
g (x ) min =g (-) =-+b .
22
11
当b >时，g (x ) min =-+b >0，
22
g (x ) =2x 2+2x +b >0在(-1, +∞)上恒成立.
∴f ' (x ) >0,
1
即当b >时, 函数f (x ) 在定义域(-1, +∞)上单调递增．
2
（II ）分以下几种情形讨论：
1
时函数f (x ) 无极值点. 2
12
2(x +) 1（2）当b =时，f '(x ) =，
2x +11⎫⎛
∴x ∈ -1, -⎪时，f ' (x ) >0,
2⎭⎝
⎛1⎫
x ∈ -, +∞⎪时，f ' (x ) >0,
⎝2⎭1
∴b =时，函数f (x ) 在(-1, +∞)上无极值点．
2
1-1-1'
（3）当b
0得两个不同解x 1=
，x 2=.
222
当b
0时，x 1=
1，x 2=>-1，
∴x 1∉(-1, +∞), x 2∈(-1, +∞),
（1）由（I ）知当b >
此时f (x ) 在(-1, +∞
)上有唯一的极小值点x 2=当0
.
1
时，x 1, x 2∈(-1, +∞), 2
f ' (x ) 在(-1, x 1), (x 2, +∞)都大于0 ，f ' (x ) 在(x 1, x 2) 上小于0 ，
和一个极小值点x 2=.
综上可知，b
)上有唯一的极小值点x 2=
10
) 有一个极大值点x 1=
x 2=；
21
b ≥时，函数f (x ) 在(-1, +∞)上无极值点．
2
2
（III ） 当b =-1时，f (x ) =x -ln(x +1).
此时f (x
) 有一个极大值点x 1=
令h (x ) =x -f (x ) =x -x +ln(x +1), 则
3
3
2
3x 3+(x -1) 2
h (x ) =在[0, +∞)上恒正，
x +1
∴h (x ) 在[0, +∞)上单调递增，当x ∈(0, +∞)时，恒有h (x ) >h (0)=0.
'
即当x ∈(0, +∞)时，有x 3-x 2+ln(x +1) >0, ln(x +1) >x 2-x 3， 对任意正整数n ，取x =
1111得ln(+1) >2-3 n n n n
四．提炼升华
1．利用导数能解决三大基本问题(1)求切线问题;(2)利用导数求单调区间;(3)利用导数求函数的极值、最值． 2．求切线问题:切点决定切线, 故求切线往往先要求出切点坐标.
3. 利用导数求单调区间, 有三种常见题型(1)一个已知函数求单调区间;(2)含参数的函数求单调区间, 转化为解含参数的一元一次不等式或一元二次不等式, 需根据参数分类讨论解决;(3)在某区间上单调, 转化为导函数f '(x ) ≥0或f '(x ) ≤0恒成立. 4. 利用导数求函数的极值、最值:要注意极值点的存在性的讨论. 若f '(x ) =0无解或有解但不在定义域内或导数等于零的点两侧导数同号, 则函数均极值点. 无极值点则函数单调.
五、巩固提高
一、选择题
1. 函数f (x ) =x -3x +1是减函数的区间是（ ） A . (2, +∞)
3
2
B . (-∞, 2) C . (-∞, 0) D . (0, 2)
解析：f '(x ) =3(x 2-2x )
2．已知f (x ) =2x 3-6x 2+a (a 是常数) 在[-2, 2]上有最大值3，那么在[-2, 2]上f (x ) 的最小值是（ ） A . -5
B . -11
2
C . -37D . -29
解析：由f '(x ) =6(x -2x ) 知f (x ) max =f (0)=3, f (x ) min =f (-2) =-37． 答案：C
3．若函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a >0) 为增函数，则（ ）
A . b 2-4ac >0
答案：D
B . b >0, c >0C . b =0, c >0Db . 2-3ac ≤0
2
解析：f '(x ) =3ax 2+2bx +c ≥0(a >0) 恒成立，只需△=b -3ac ≤0．
1
4. 若f (x ) ＝－x 2＋b ln (x ＋2) 在(－1，＋∞) 上是减函数，则b 的取值范围是 ( )
2
A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1) 解析：f '(x ) =-x +
b
≤0在(－1，＋∞) 上恒成立，等价于b ≤x (x +2) =(x +1) 2-1在(－1，＋∞) x +2
上恒成立，故b ≤-1．
答案：C
2
5. 已知x ≥0,y ≥0，x +3y =9,则x y 的最大值为 （
） A.36
B.18 C.25 解析：x y =(9-3y ) y 答案： A
二、填空题
2
2
(0≤y ≤3) ，利用导数可求得x =6, y =1取最大值为36．
6.
⎰
2
(3x 2+k ) dx =10, 则k = ;
解析：(x 3+kx ) 答案：1
2
dx =10, 则k =1． 0
7. 若过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________,切线的斜率为 _______．
解析：设切点坐标为(a ,e a ) ，则切线方程为y -e a =e a (x -a ) ，又过原点，故-e a =e a (-a ) ，得a =1，故切点坐标为(1,e)，斜率为e ． 答案：(1,e)，e
x 2+a
8. （2009辽宁卷文）若函数f (x ) =在x =1处取极值，则a = ．
x +13-a 2x (x +1) -(x 2+a )
f '(1)解析：f '(x ) ＝ ，＝＝0 ⇒ a＝3．
4(x +1) 2
答案：3
9. （2009福建卷理）若曲线f (x ) =ax 3+ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________． 解析：由题意可知f (x ) =2ax +
1
，又因为存在垂直于y 轴的切线， x
112
所以2ax +=0⇒a =-3(x >0) ⇒a ∈(-∞,0) ．
x 2x
'
2
答案：(-∞,0)
三、解答题
32
10. 设函数f (x )=x +bx +cx (x ∈R ) ，已知g (x ) =f (x ) -f '(x ) 是奇函数．
（Ⅰ）求b 、c 的值; Ⅱ）求g (x ) 的单调区间与极值.
解析: （Ⅰ）∵f (x )=x +bx +cx ，∴f '(x )=3x +2bx +c ．
3
2
2
从而g (x ) =f (x ) -f '(x ) =x +bx +cx -(3x +2bx +c ) ＝x +(b -3) x +(c -2b ) x -c 是一个奇函数，所以g (0)=0得c =0，由奇函数定义得b =3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x ) =x 3-6x ，从而g '(x ) =3x 2-
6，由此可知，(-∞,
和+∞) 是函数g (x
) 是单调递增区间；(是函数g (x ) 是单调递减区间；
32232
g (x
) 在x =
g (x
) 在x =
-．
11. .设函数f (x ) =(1+x ) -ln(1+x ) （1）求函数f (x ) 的单调区间；
（2）若当x ∈[-1, e -1]时，不等式f (x )
22
1
e
（3）若关于x 的方程f (x ) =x +x +a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．
2
解析：因为f (x ) =(1+x ) -ln(1+x ) 所以f '(x ) =2(1+x ) -
22
2 1+x
21x 2+2x =2[(1+x ) -]>0⇒>0 （1）令f '(x ) =2(1+x ) -
1+x 1+x 1+x
⇒-20，所以f (x ) 的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；
21x 2+2x
=2[(1+x ) -]
1+x 1+x 1+x
⇒-1
11
f (-1) =2+2, f (0) =1, f (e -1) =e 2-2,
e e
1
所以, 当x ∈[-1, e -1]时, f (x ) 的最大值为e 2-2.
e
因此可得：f (x )e－2
2
2
（3）原题可转化为：方程a =(1+x ) －ln(1+x ) 在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根．
2
, 令g '(x )=0, 解得:x=1, 1+x
当x ∈(0, 1) 时, g '(x )
当x ∈(1, 2) 时, g '(x ) >0, ∴g (x ) 在(1, 2) 单调递增.
(12分)
g (x ) 在x =0和x =2点处连续,
又 g (0) =1, g (1) =2-ln 4, g (2) =3-ln 9,
且2－ln4
所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a 的取值范围是： 2－ln4
12. 已知函数f (x ) =x -1-a ln x (a ∈R ) .
（1）若曲线y =f (x ) 在x =1处的切线的方程为3x -y -3=0，求实数a 的值； （2）求证：f (x ) ≥0恒成立的充要条件是a =1；
（3）若a
11
-|，求实数a 的取值范围. x 1x 2