2-2刚体转动惯量的测定

第

2章 基础实验

25

实验2.2 刚体转动惯量的测定

转动惯量是反映刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、刚体质量对轴的分布以及转轴的位置有关。对于几何形状规则，质量分布均匀的物体，可以计算出转动惯量。但对于几何形状不规则的物体，以及质量分布不均匀的物体，只能用实验方法来测量。测量转动惯量的方法有多种，如三线摆、扭摆等。本实验是用转动惯量实验仪和通用电脑式毫秒计来测量几种刚体的转动惯量，并与计算结果加以比较。

【实验目的】

1．测定不同形状刚体的转动惯量，并与理论值比较。 2．了解与转动惯量有关的因素。 【实验仪器】

JM-3智能转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计（HMS-3型）、游标卡尺、天平、砝码、试件。

【实验原理】

1．转动惯量实验仪的构造

如图2-7所示，转动惯量实验仪由绕竖直轴转动的载物台、遮光细棒、绕线塔轮、光电门、滑轮、砝码等组成。

遮光细棒随转动系统转动，依次通过光电门，每半圈遮挡光电门一次，用以计数、计时。待测物体可以放置在载物台上，载物台的下面有一个倒置的塔式轮，有5个不同半径的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码以改变外力矩的大小。

2．测量原理

设转动惯量仪空载（不加任何试件）时的转动惯量为J0，我们称它为该系统的本底转动惯量，加试件后该系统的转动惯量用J表示，根据转动惯量的可加性，则试件的转动惯量Jx为 （2-4） JxJJ0 转动惯量是不能直接测量的，下面我们将根据刚体定轴转动的理论来推导本底转动惯量J0的表达式。

（1）给系统加一个外力矩（即加适当的砝码），则该系统的受力分析如图2-8所示。由牛顿第二定律和转动定律得 又有

mgTma TrM

f

（2-5）

（2-6） （2-7）

J02

ar2

26 大学物理实验

1．载物台 2．遮光细棒 3．绕线塔轮 4．光电门 5．滑轮 6．砝码

图2-7 刚体转动惯量实验仪的构造 图2-8 受力分析

式（2-6）和式（2-7）中2是指在外力矩与摩擦力矩的共同作用下系统的角加速度，r是塔轮的半径。

（2）如果不给该系统加外力矩（即不加砝码），拨动转轮使系统在某一个初角速度下转动，此时系统只受摩擦力矩的作用，做匀减速转动，根据转动定律则有

MfJ01 （2-8）

式中J0为本底转动惯量，Mf为摩擦力矩，负号表示Mf的方向与初角速度方向相反，1

为角加速度，计算出的1值应为负值。

将式（2-5）～式（2-8）联立求解得：

J0

mgr

21mgr

—

221

221

mr

2

（2-9）

由于1本身是负值，所以计算时2121，则式（2-9）应为

J0

21

—mr

2

（2-10）

同理，加试件后，也可用同样的方法测出J。然后代入式（2-4）减去本底转动惯量J0即可得到试件的转动惯量。式（2-9）中，m,g,r都是已知或者可直接测量的物理量，问题在于

如何测量1和2。

3．α1和α2的测量

（1）只在摩擦力矩作用下：设t0时的角速度为0，角位移为0，由刚体运动学，我们知道角位移和时间的关系为

0t

12

2t

（2-11）

在一次转动过程中，取两个不同时刻，对应的角位移分别为θ1和θ2，则有：

10t120t2

1212

21t1

（2-12） （2-13）

2

1t2

式（2-12）和式（2-13）联立求解得：

1

2(2t11t2)t1t2t2t1

（2-14）

第

2章 基础实验

27

（2）在砝码拉力矩作用下：设t0时砝码由静止开始下落，此时使遮光细棒与光电门位置重合，每转半圈计一次时间，计时次数为k，则kπ，则有：

【实验内容及步骤】

1．仔细阅读仪器的使用说明书，了解转动惯量仪与电脑式毫秒计的调节和使用方法。 2．调节转动惯量仪。

（1）调节底脚螺丝使载物台水平。

（2）调节导向滑轮，使拉线水平且与转轴垂直。

3．将HMS-3型电脑毫秒计和转动惯量仪用导线连接起来，砝码挂钩挂在线的一端（线的长度最好是当砝码落地时，另一端刚好脱开塔轮），线的另一端打个结，将打结的一端塞入塔轮的狭缝中，将线全部绕在塔轮上（不能在线上再重叠绕线，以保持力臂r不变）。

4．不加试件，将遮光细棒与光电门重合，用手捏住，等砝码稳定后放手，当砝码落地时线的另一端将自动从塔轮的狭缝中脱出。转动惯量仪在转动过程中，电脑毫秒计会自动记录下每转过π弧度时的次数和时间，而且还能计算出角加速度的值。由于砝码落地之前，转动惯量仪受外力矩的作用角加速度为正值（即2），而砝码落地之后转动惯量仪在摩擦力矩的作用下，角加速度为负值（即1），由于从正角加速度转变到负角加速度，中间计算方法也有个转换过程。为此，电脑毫秒计中间隔有5次PASS，5次PASS以后再记录角加速度即1。

5．加上试件，用同样的方法测出其转动惯量。 【实验结果及数据处理】

1．测量塔轮的半径r，记录砝码的质量m，并测出试件质量M。

2．根据电脑毫秒计提取下列情况的值，填入表2-4中，并计算出以下转动惯量，跟理论值对比，求出相对误差。

表2-4

kπ

1

2

22kπt

2

22t

（2-15）

待测体对应的2和1

28 大学物理实验

续表

（1）本底转动惯量J0。 （2）圆环加本底的转动惯量。 （3）圆盘加本底的转动惯量。 （4）球的本底的转动惯量。 （5）球加本底。 【思考题】

1．根据学过的大学物理的内容，说说转动惯量的物理意义。 2．根据所做的实验，讨论转动惯量与哪些因素有关。 3．如何测出本实验中所使用仪器的摩擦力矩？ 4．如何验证平行轴定理？

第

2章 基础实验

25

实验2.2 刚体转动惯量的测定

转动惯量是反映刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、刚体质量对轴的分布以及转轴的位置有关。对于几何形状规则，质量分布均匀的物体，可以计算出转动惯量。但对于几何形状不规则的物体，以及质量分布不均匀的物体，只能用实验方法来测量。测量转动惯量的方法有多种，如三线摆、扭摆等。本实验是用转动惯量实验仪和通用电脑式毫秒计来测量几种刚体的转动惯量，并与计算结果加以比较。

【实验目的】

1．测定不同形状刚体的转动惯量，并与理论值比较。 2．了解与转动惯量有关的因素。 【实验仪器】

JM-3智能转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计（HMS-3型）、游标卡尺、天平、砝码、试件。

【实验原理】

1．转动惯量实验仪的构造

如图2-7所示，转动惯量实验仪由绕竖直轴转动的载物台、遮光细棒、绕线塔轮、光电门、滑轮、砝码等组成。

遮光细棒随转动系统转动，依次通过光电门，每半圈遮挡光电门一次，用以计数、计时。待测物体可以放置在载物台上，载物台的下面有一个倒置的塔式轮，有5个不同半径的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码以改变外力矩的大小。

2．测量原理

设转动惯量仪空载（不加任何试件）时的转动惯量为J0，我们称它为该系统的本底转动惯量，加试件后该系统的转动惯量用J表示，根据转动惯量的可加性，则试件的转动惯量Jx为 （2-4） JxJJ0 转动惯量是不能直接测量的，下面我们将根据刚体定轴转动的理论来推导本底转动惯量J0的表达式。

（1）给系统加一个外力矩（即加适当的砝码），则该系统的受力分析如图2-8所示。由牛顿第二定律和转动定律得 又有

mgTma TrM

f

（2-5）

（2-6） （2-7）

J02

ar2

26 大学物理实验

1．载物台 2．遮光细棒 3．绕线塔轮 4．光电门 5．滑轮 6．砝码

图2-7 刚体转动惯量实验仪的构造 图2-8 受力分析

式（2-6）和式（2-7）中2是指在外力矩与摩擦力矩的共同作用下系统的角加速度，r是塔轮的半径。

（2）如果不给该系统加外力矩（即不加砝码），拨动转轮使系统在某一个初角速度下转动，此时系统只受摩擦力矩的作用，做匀减速转动，根据转动定律则有

MfJ01 （2-8）

式中J0为本底转动惯量，Mf为摩擦力矩，负号表示Mf的方向与初角速度方向相反，1

为角加速度，计算出的1值应为负值。

将式（2-5）～式（2-8）联立求解得：

J0

mgr

21mgr

—

221

221

mr

2

（2-9）

由于1本身是负值，所以计算时2121，则式（2-9）应为

J0

21

—mr

2

（2-10）

同理，加试件后，也可用同样的方法测出J。然后代入式（2-4）减去本底转动惯量J0即可得到试件的转动惯量。式（2-9）中，m,g,r都是已知或者可直接测量的物理量，问题在于

如何测量1和2。

3．α1和α2的测量

（1）只在摩擦力矩作用下：设t0时的角速度为0，角位移为0，由刚体运动学，我们知道角位移和时间的关系为

0t

12

2t

（2-11）

在一次转动过程中，取两个不同时刻，对应的角位移分别为θ1和θ2，则有：

10t120t2

1212

21t1

（2-12） （2-13）

2

1t2

式（2-12）和式（2-13）联立求解得：

1

2(2t11t2)t1t2t2t1

（2-14）

第

2章 基础实验

27

（2）在砝码拉力矩作用下：设t0时砝码由静止开始下落，此时使遮光细棒与光电门位置重合，每转半圈计一次时间，计时次数为k，则kπ，则有：

【实验内容及步骤】

1．仔细阅读仪器的使用说明书，了解转动惯量仪与电脑式毫秒计的调节和使用方法。 2．调节转动惯量仪。

（1）调节底脚螺丝使载物台水平。

（2）调节导向滑轮，使拉线水平且与转轴垂直。

3．将HMS-3型电脑毫秒计和转动惯量仪用导线连接起来，砝码挂钩挂在线的一端（线的长度最好是当砝码落地时，另一端刚好脱开塔轮），线的另一端打个结，将打结的一端塞入塔轮的狭缝中，将线全部绕在塔轮上（不能在线上再重叠绕线，以保持力臂r不变）。

4．不加试件，将遮光细棒与光电门重合，用手捏住，等砝码稳定后放手，当砝码落地时线的另一端将自动从塔轮的狭缝中脱出。转动惯量仪在转动过程中，电脑毫秒计会自动记录下每转过π弧度时的次数和时间，而且还能计算出角加速度的值。由于砝码落地之前，转动惯量仪受外力矩的作用角加速度为正值（即2），而砝码落地之后转动惯量仪在摩擦力矩的作用下，角加速度为负值（即1），由于从正角加速度转变到负角加速度，中间计算方法也有个转换过程。为此，电脑毫秒计中间隔有5次PASS，5次PASS以后再记录角加速度即1。

5．加上试件，用同样的方法测出其转动惯量。 【实验结果及数据处理】

1．测量塔轮的半径r，记录砝码的质量m，并测出试件质量M。

2．根据电脑毫秒计提取下列情况的值，填入表2-4中，并计算出以下转动惯量，跟理论值对比，求出相对误差。

表2-4

kπ

1

2

22kπt

2

22t

（2-15）

待测体对应的2和1

28 大学物理实验

续表

（1）本底转动惯量J0。 （2）圆环加本底的转动惯量。 （3）圆盘加本底的转动惯量。 （4）球的本底的转动惯量。 （5）球加本底。 【思考题】

1．根据学过的大学物理的内容，说说转动惯量的物理意义。 2．根据所做的实验，讨论转动惯量与哪些因素有关。 3．如何测出本实验中所使用仪器的摩擦力矩？ 4．如何验证平行轴定理？